On m’a récemment suggéré un joli problème tiré des OIM 2014 qui ont eu lieu le 8 juillet dernier. L’énoncé est le suivant :
Soit \(a_0<a_1<a_2<...\) une suite infinie d’entiers strictement positifs. Prouver qu’il existe un unique entier \(n\ge 1\) tel que \[a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}\le a_{n+1}\]
J’ai cherché en vain une jolie solution géométrique en réécrivant le problème comme suit : \[na_n<a_0+a_1+...+a_n\leq na_{n+1}\]
en voyant les \(a_0,a_1,...,a_n\) comme des rectangles de largeur 1 et de hauteur \(a_i\), et \(na_n\) le “gros rectangles” qui les englobent.
Cette écriture m’a ensuite suggéré de retrancher \(n\) fois le \(a_n\) (comme on fait souvent pour démontrer Césaro en redistribuant une valeur sur chacun des termes) :
\[0<a_0+(a_1-a_n)+(a_2-a_n)+...+(a_{n-1}-a_n)\le n(a_{n+1}-a_n)\]
Mais là ça me plaisait moyen parce que les termes \((a_i-a_n)\) étaient négatifs (puisque la suite est strictement croissante). Qu’à cela ne tienne on les vire de l’autre côté des inégalités :
\[(a_n-a_1)+(a_n-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})<a_0\] \[a_0\le (a_n-a_1)+(a_n-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})+ n(a_{n+1}-a_n)\]
Bon et là je pensais faire intervenir une suite auxiliaire croissante et espérer voir apparaître un truc intéressant de part et d’autre, mais non :D
Pourtant je sentais qu’il y avait de l’idée en reformulant le problème par l’encadrement de la valeur \(a_0\) avec une suite croissante… Alors je refais marche arrière, et cette fois-ci ce n’est pas les \(a_n\) que je déplace, mais les \(\displaystyle a_1+...+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\) :
\[na_n<a_0+a_1+...+a_n\le na_{n+1}\Leftrightarrow na_n-\sum_{k=1}^na_k<a_0\le na_{n+1}-\sum_{k=1}^{n}a_k\]
A gauche on peut faire sauter un des \(a_n\) puisqu’il s’annule avec celui de la somme :
\[(n-1)a_n-\sum_{k=1}^{n-1}a_k<a_0\le na_{n+1}-\sum_{k=1}^{n}a_k\]
C’est maintenant qu’on fait rentrer les \(a_n\) dans la somme ! :)
\[\sum_{k=1}^{n-1}(a_n-a_k)<a_0\le \sum_{k=1}^{n}(a_{n+1}-a_k)\]
Ca y est on tient le bon bout ! Si je note \(b_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(a_n-a_k)\) alors on a :
\[b_n<a_0\le b_{n+1}\]
Une fois le problème reformulé via cette suite auxiliaire, la résolution devient très simple :
En effet puisque la suite \((a_n)\) est strictement croissante, on a : \[\displaystyle \begin{array}{rcl}b_{n+1}-b_n&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{n+1}-a_k)-\sum_{k=1}^{n-1}(a_n-a_k)\\ &=&\displaystyle a_{n+1}-a_n+\sum_{k=1}^{n-1}[(a_{n+1}-a_k)-(a_{n}-a_k)]\\ &=& \displaystyle a_{n+1}-a_n+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{n+1}-a_n)\\ &=& n(a_{n+1}-a_n)>0\end{array}\]
Donc la suite d’entiers naturels \((b_n)\) est strictement croissante également, avec pour premier terme \(b_1=0\).
Ainsi une fois l’entier \(a_0>0\) fixé, il existe un unique rang \(n\) tel que \[b_n<a_0\le b_{n+1}\]
CQFD.